sábado, 12 de dezembro de 2009

O CONCEITO INTUITIVO DE ELIPSE

Observe:







A elipse é estudada em uma subárea da Matemática denominada Geometria Analítica. Um dos matemáticos que teve grande influência no desenvolvimento desse campo foi René Descartes (1596 - 1650). Descartes nasceu na França e formou-se em Direito, mas seu grande interesse sempre foi a Filosofia e a Matemática. Neste última, criou a Geometria Cartesiana, que pode ser vista como a aplicação da geometria à álgebra e da álgebra à geomeria, teoria que deu origem ao que hoje conhecemos como Geometria Analítica, que você vem estudando desde o início do 3º ano do Ensino Médio. Finalizando o estudo das cônicas (pois são obtidas a partir das intersecções de planos de um cone) trataremos da elipse em um enfoque mais qualitativo, investigando suas aplicações nas ciências e matemática.



Ao chegar em casa, após a aula de Matemática, você está morrendo de fome. Ao abrir a geladeira, depara-se com um pedaço de salame (daqueles que se parecem com um cilindro circular). Quando vai fatiá-lo, observa que quanto mais inclinada estiver a sua faca, maior será a fatia de salame e também observa que o formato dessa fatia se parece com uma elipse.

Seria mesmo uma elipse?


Realmente, é uma elipse, e é fácil perceber o porquê. Vamos imaginar o momento em que o salame ainda estava inteiro. Pensemos em um corte oblíquo (torto) que você fez. Consideremos que tangentes à sua faca, de ambos os lados e, tangentes à parede do salame estão colocadas duas bolas de tênis, encaixadas perfeitamente formando círculos paralelos.


Considere os pontos F e F’ da figura, nos quais as bolas de tênis são tangentes ao corte e seja P um ponto qualquer da borda do corte. Vamos traçar, passando por P, uma reta paralela ao eixo do salame que tangenciará as bolas de tênis nos pontos indicados por A e B. Como os círculos são paralelos, o segmento AB tem comprimento constante, à medida que P varia na borda do corte. Note que os segmentos PA e PF possuem o mesmo comprimento, pois ambos tangenciam a mesma bola de tênis a partir do mesmo ponto P. Do mesmo modo, PB = PF’. Assim: PF + PF’ = PA + PB = AB = constante; o que conclui que o formato da fatia é mesmo uma elipse. Vejamos a definição matemática dessa cônica e comparemos com a segunda figura deta página:


Uma elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante (2a) e maior do que a distância entre eles. Os pontos fixos são os focos da elipse. À distância entre os focos chama-se distância focal (2c).

Você saberia dizer em que outras situações cotidianas a elipse está presente?


terça-feira, 17 de novembro de 2009

Medidas de Comprimento








“A necessidade de medir é quase tão antiga quanto a necessidade de contar.”


(MACHADO, 2000, pág. 8).



AS PRIMEIRAS MEDIÇÕES

Atualmente dispomos de vários instrumentos que nos permitem medir comprimentos, mas... e há 4.000 anos, quando não existiam esses apetrechos? Como o homem fazia para medir comprimentos?
A necessidade de medir é quase tão antiga quanto a de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e a desenvolver a agricultura, precisou criar meios de efetuar medições.
Para medir comprimentos, o homem tomava a si próprio como referência. Usava como padrões determinadas partes de seu corpo. Foi assim que surgiram: a polegada, o palmo, o pé, a jarda, a braça, o passo. Alguns desses padrões continuam sendo usados até hoje.
Há cerca de 4.000 anos, os egípcios usavam como padrão de medida de comprimento, o cúbito: que é a distância do cotovelo à ponta do dedo médio. Como as pessoas têm tamanhos diferentes, o cúbito variava de uma pessoa para outra, ocasionando as maiores confusões nos resultados das medidas. Os egípcios resolveram então fixar um padrão único: em lugar do próprio corpo eles passaram a usar em suas medidas barras de pedra com o mesmo comprimento. Foi assim que surgiu o cúbito-padrão.
Foi durante a Revolução Francesa que se tomou a iniciativa de unificar, a nível mundial, os padrões de medida. Nessa época havia uma grande confusão entre os vários padrões de medida empregados. Assim, em 1790, a Academia de Ciências de Paris criou uma comissão, que incluía matemáticos, para resolver o problema. Dos trabalhos dessa comissão resultou o metro, um padrão único para medir comprimentos, o qual passou a ser utilizado universalmente.
No passado cada povo tinha seus próprios padrões, o que gerava algumas dificuldades, por exemplo: o cúbito padronizado pelos sumérios era diferente do cúbito egípcio, e ambos diferiam do cúbito assírio. Observe:

Cúbito sumério = 49,5 cm
Cúbito egípcio = 52,4 cm
Cúbito assírio = 54,9 cm

Na Inglaterra foram utilizados por muito tempo padrões com o mesmo nome, como foi o caso do pé romano, pé comum e pé do norte. As relações entre estes pés dizia que 10 pés romanos eram equivalentes a poucos menos que 9 pés do norte.

Pé romano = 29,6 cm
Pé comum = 31,7 cm
Pé do Norte = 33,6 cm


(Texto disponível em http://www.mat.ufpb.br/lepac/jcm.htm)


Você já parou para pensar nessas questões?


Esta página objetiva fazê-lo compreender um pouco mais sobre as Grandezas e Medidas, focalizando as medidas de comprimento.



Breve Histórico


•600 a. C. - Egito: Tales de Mileto e a medida das pirâmides
•Povos babilônicos e egípcios: necessidade de dividir e medir áreas de plantio.
•Utilização de unidades de medidas ligadas ao corpo humano (mãos, pés, polegadas, passos)
•Através da observação: comparação e classificação de grandezas.
•Impossibilidade de misturar espécies diferentes de grandezas, Por exemplo: O que é maior: a idade do meu avô ou a distância da minha casa até o rio? São grandezas incomparáveis, portanto necessitam de unidades de medida diferentes.


Problemas

•O uso de partes do corpo faz surgir um problema: As pessoas são diferentes e, portanto, as medidas serão diferentes.
•Como o comércio funcionaria de maneira justa? Como trocar mercadorias?
•Surge a necessidade de padronizar.


Padrões de medidas

Aos primeiros padrões utilizados historicamente foi dado um valor correspondente na escala de medida por metros:
•1 polegada = 2,54cm
•1 pé = 30,48cm
•1 jarda (da linha mediana do corpo até a ponta do dedo médio de uma das mãos, com o braço perpendicular ao corpo) = 91,44 cm
•1 cúbito (do cotovelo à ponta do dedo médio) = 52,4 cm


Sistema oficial métrico

•Surge na França, no século XVIII
•No Brasil, começa a ser utilizado oficialmente em 1938.


O metro padrão, criado em 1799, foi definido como a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e o Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade de Paris, na França. Hoje se baseia no espaço percorrido pela luz no vácuo em determinado período de tempo, o que lhe confere maior precisão na calibragem de instrumentos científicos. A adoção do Sistema Internacional de Unidades (SI), regulamentando o metro, o litro, o quilograma e os graus Celsius como padrão no mundo inteiro, não ocorreu na maioria da população dos Estados Unidos e Inglaterra, havendo nestes países o uso do antigo sistema imperial. No Brasil, o Sistema Métrico Decimal foi adotado oficialmente em 1862 (Jornal dos Clubes de Matemática).